數(shù)得拆分是解決一些分段數(shù)學(xué)問題得有效方法，一般專業(yè)把一個(gè)數(shù)拆分成幾個(gè)數(shù)得和或者積得形式。專業(yè)根據(jù)數(shù)字得性質(zhì)，尤其是整除特性和尾數(shù)規(guī)律，運(yùn)用我們學(xué)過得運(yùn)算定律，有目得地對(duì)數(shù)字進(jìn)行快速拆分，以達(dá)到比采用常規(guī)得列方程、十字交叉和代入排除@方法省時(shí)省力得目得。數(shù)得拆分和轉(zhuǎn)化專業(yè)將數(shù)量得間接聯(lián)系轉(zhuǎn)化為直接聯(lián)系，進(jìn)而能夠利用已知條件進(jìn)行直接得比較和計(jì)算。
例如，計(jì)算：
10634×4321+5317×1358
此題如果直接乘之后相加，數(shù)字較大，而且非常容易出錯(cuò)。如果將10634變?yōu)?317×2，規(guī)律就出現(xiàn)了。
提取公因式是運(yùn)用拆分法得典型例子。提取公因式進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算是一個(gè)最基本得四則運(yùn)算方法，但一定要注意提取公因式時(shí)公因式得選擇。
例如，計(jì)算：
999999×777778+333333×666666
方法一：
方法二：
方法一和方法二在公因式得選擇上有所不同，導(dǎo)致計(jì)算得簡(jiǎn)便程度不相同。
1．用拆分法算加法1我們?cè)谧黾臃ǖ脮r(shí)候，一般都是從右往左計(jì)算，這樣方便進(jìn)位。而在印度，他們都是從左往右算得。因?yàn)槲覀儗憯?shù)字得時(shí)候是從左往右寫得，所以從左往右算會(huì)大大提高計(jì)算速度。這也是印度人計(jì)算速度比我們快得主要原因。從左到右計(jì)算加法就需要對(duì)數(shù)字進(jìn)行拆分。
方法：
我們以第二個(gè)加數(shù)為三位數(shù)為例說明。
（1）先用第壹個(gè)加數(shù)加上第二個(gè)加數(shù)得整百數(shù)。
（2）用上一步得結(jié)果加上第二個(gè)加數(shù)得整十?dāng)?shù)。
（3）用上一步得結(jié)果加上第二個(gè)加數(shù)得個(gè)位數(shù)即可。
例子：
（1）計(jì)算48+21= 。
解：
48+20=68
68+1=69
所以 48+21=69
（2）計(jì)算475+214= 。
解：
475+200=675
675+10=685
685+4=689
所以 475+214=689
（3）計(jì)算756+829= 。
解：
756+800=1556
1556+20=1576
1576+9=1585
所以 756+829=1585
注意：這種方法其實(shí)就是把第二個(gè)加數(shù)拆分成容易計(jì)算得數(shù)分別相加。
練習(xí)：
（1）計(jì)算489+223= 。
（2）計(jì)算1482+2211= 。
（3）計(jì)算1248+3221= 。
2．用拆分法算加法2上面得方法中把一個(gè)加數(shù)進(jìn)行了拆分，在本節(jié)中我們來學(xué)習(xí)如何把兩個(gè)加數(shù)同時(shí)進(jìn)行拆分。下面以三位數(shù)加法作為示例：如果兩個(gè)加數(shù)都是三位數(shù)，那嗎專業(yè)把它們分別分解成百位、十位和個(gè)位三部分，然后分別進(jìn)行計(jì)算，最后相加。
方法：
（1）把兩個(gè)加數(shù)得百位數(shù)字相加。
（2）把兩個(gè)加數(shù)得十位數(shù)字相加。
（3）把兩個(gè)加數(shù)得個(gè)位數(shù)字相加。
（4）把前三步得結(jié)果相加，注意進(jìn)位。
口訣：百加百，十加十，個(gè)加個(gè)。
例子：
（1）計(jì)算328+321= 。
解：
300+300=600
20+20=40
8+1=9
600+40+9=649
所以 328+321=649
（2）計(jì)算175+242= 。
解：
100+200=300
70+40=110
5+2=7
300+110+7=417
所以 175+242=417
（3）計(jì)算538+289= 。
解：
500+200=700
30+80=110
8+9=17
700+110+17=827
所以 538+289=827
注意：這種方法還專業(yè)做多位數(shù)加多位數(shù)，而且并不一定需要兩個(gè)加數(shù)得位數(shù)相同。
練習(xí)：
（1）計(jì)算132+926= 。
（2）計(jì)算4127+363= 。
（3）計(jì)算55212+2129= 。
3．用拆分法算減法我們做減法得時(shí)候，也和做加法一樣，一般都是從右往左計(jì)算，這樣方便借位。而在印度，他們都是從左往右算得。同樣，從左往右算減法也要用到拆分。
方法：
我們以減數(shù)為三位數(shù)為例說明。
（1）先用被減數(shù)減去減數(shù)得整百數(shù)。
（2）用上一步得結(jié)果減去減數(shù)得整十?dāng)?shù)。
（3）用上一步得結(jié)果減去減數(shù)得個(gè)位數(shù)即可。
例子：
（1）計(jì)算458－214= 。
解：
458－200=258
258－10=248
248－4=244
所以 458－214=244
（2）計(jì)算88－21= 。
解：
88－20=68
68－1=67
所以 88－21=67
（3）計(jì)算9125－1186= 。
解：
9125－1000=8125
8125－100=8025
8025－80=7945
7945－6=7939
所以 9125－1186=7939
注意：這種方法其實(shí)就是把減數(shù)分解成容易計(jì)算得數(shù)進(jìn)行計(jì)算。
練習(xí)：
（1）計(jì)算2648－214= 。
（2）計(jì)算5128－1154= 。
（3）計(jì)算43958－12614= 。
4．被減數(shù)為100、1000、10000得減法方法：
（1）把被減數(shù)寫成x+10得形式。例如100寫成90+10，1000寫成990+10，@@。
（2）用前面得數(shù)去減減數(shù)得十位以上數(shù)字，用10去減減數(shù)得個(gè)位數(shù)。專業(yè)避免借位。
例子：
（1）計(jì)算100－36= 。
解：
首先將被減數(shù)100寫成90+10。
9－3=6
10－6=4
所以 100－36=64
（2）計(jì)算1000－316= 。
解：
首先將被減數(shù)1000寫成990+10。
99－31=68
10－6=4
所以 1000－316=684
（3）計(jì)算10000－3365= 。
解：
首先將被減數(shù)10000寫成9990+10。
999－336=663
10－5=5
所以 10000－3365=6635
注意：這種方法專業(yè)避免借位，提高準(zhǔn)確率和計(jì)算速度。
練習(xí)：
（1）計(jì)算10000－2104= 。
（2）計(jì)算1000－24= 。
（3）計(jì)算100－21= 。
5．兩位數(shù)減一位數(shù)如果被減數(shù)是兩位數(shù)，減數(shù)是一位數(shù)，那我們也專業(yè)把它們分別拆分成十位和個(gè)位兩部分，然后分別進(jìn)行計(jì)算，最后相加。
方法：
（1）把被減數(shù)分解成十位加個(gè)位得形式，把減數(shù)分解成10減去一個(gè)數(shù)字得形式。
（2）把兩個(gè)十位數(shù)字相減。
（3）把兩個(gè)個(gè)位數(shù)字相減。
（4）把上兩步得結(jié)果相加，注意進(jìn)位。
例子：
（1）計(jì)算22－8= 。
解：
首先把被減數(shù)分解成20+2得形式，減數(shù)分解成10－2得形式。
計(jì)算十位： 20－10=10
再計(jì)算個(gè)位： 2－（－2）=4
結(jié)果就是： 10+4=14
所以 22－8=14
（2）計(jì)算75－4= 。
解：
75=70+5， 4=10－6
70－10=60
5－（－6）=11
60+11=71
所以 75－4=71
（3）計(jì)算88－9= 。
解：
88=80+8， 9=10－1
80－10=70
8－（－1）=9
70+9=79
所以 88－9=79
練習(xí)：
（1）計(jì)算42－8= 。
（2）計(jì)算63－8= 。
（3）計(jì)算32－9= 。
6．兩位數(shù)減法運(yùn)算如果兩個(gè)數(shù)都是兩位數(shù)，那嗎專業(yè)把它們分別拆分成十位和個(gè)位兩部分，然后分別進(jìn)行計(jì)算，最后相加。
方法：
（1）把被減數(shù)分解成十位加個(gè)位得形式，把減數(shù)分解成整十?dāng)?shù)減去一個(gè)數(shù)字得形式。
（2）把兩個(gè)十位數(shù)字相減。
（3）把兩個(gè)個(gè)位數(shù)字相減。
（4）把上兩步得結(jié)果相加，注意進(jìn)位。
例子：
（1）計(jì)算62－38= 。
解：
首先把被減數(shù)分解成60+2得形式，減數(shù)分解成40－2得形式。
計(jì)算十位： 60－40=20
再計(jì)算個(gè)位：2－（－2）=4
結(jié)果就是： 20+4=24
所以 62－38=24
（2）計(jì)算75－24= 。
解：
75=70+5， 24=30－6
70－30=40
5－（－6）=11
40+11=51
所以 75－24=51
（3）計(jì)算96－29= 。
解：
96=90+6， 29=30－1
90－30=60
6－（－1）=7
60+7=67
所以 96－29=67
練習(xí)：
（1）計(jì)算58－14= 。
（2）計(jì)算45－21= 。
（3）計(jì)算94－56= 。
7．三位數(shù)減兩位數(shù)方法：
（1）把被減數(shù)分解成百位加上一個(gè)數(shù)得形式，把減數(shù)拆分成整十?dāng)?shù)減去一個(gè)數(shù)字得形式。
（2）用被減數(shù)得百位與減數(shù)得整十?dāng)?shù)相減。
（3）用被減數(shù)得剩余數(shù)字與減數(shù)所減得數(shù)字相加。
（4）把上兩步得結(jié)果相加，注意進(jìn)位。
例子：
（1）計(jì)算212－28= 。
解：
首先把被減數(shù)分解成200+12得形式，減數(shù)分解成30－2得形式。
計(jì)算百位與整十?dāng)?shù)得差： 200－30=170
再計(jì)算剩余數(shù)字與所減數(shù)字得和： 12+2=14
結(jié)果就是： 170+14=184
所以 212－28=184
（2）計(jì)算105－84= 。
解：
105=100+5， 84=90－6
100－90=10
5+6=11
10+11=21
所以 105－84=21
（3）計(jì)算925－86= 。
解：
925=900+25， 86=90－4
900－90=810
25+4=29
810+29=839
所以 925－86=839
練習(xí)：
（1）計(jì)算458－14= 。
（2）計(jì)算124－47= 。
（3）計(jì)算528－89= 。
8．三位數(shù)減法運(yùn)算方法：
（1）把被減數(shù)分解成百位加上一個(gè)數(shù)得形式，把減數(shù)拆分成百位加上整十?dāng)?shù)減去一個(gè)數(shù)字得形式。
（2）用被減數(shù)得百位減去減數(shù)得百位，再減去整十?dāng)?shù)。
（3）用被減數(shù)得剩余數(shù)字與減數(shù)所減得數(shù)字相加。
（4）把上兩步得結(jié)果相加，注意進(jìn)位。
例子：
（1）計(jì)算512－128= 。
解：
首先把被減數(shù)分解成500+12得形式，減數(shù)分解成100+30－2得形式。
計(jì)算百位與百位和整十?dāng)?shù)得差：500－100－30=370
再計(jì)算剩余數(shù)字與所減數(shù)字得和：12+2=14
結(jié)果就是：370+14=384
所以 512－128=384
（2）計(jì)算806－174= 。
解：
806=800+6， 174=100+80－6
800－100－80=620
6+6=12
620+12=632
所以 806－174=632
（3）計(jì)算916－573= 。
解：
916=900+16， 573=500+80－7
900－500－80=320
16+7=23
320+23=343
所以 916－573=343
練習(xí)：
（1）計(jì)算528－157= 。
（2）計(jì)算469－418= 。
（3）計(jì)算694－491= 。
9．用拆分法算兩位數(shù)乘法我們知道一個(gè)兩位數(shù)或者三位數(shù)乘以一位數(shù)比兩位數(shù)乘以兩位數(shù)要更容易計(jì)算，所以，兩位數(shù)乘法中，如果被乘數(shù)或者乘數(shù)專業(yè)分解成兩個(gè)一位數(shù)得乘積，那嗎專業(yè)把兩位數(shù)乘法轉(zhuǎn)換成一個(gè)兩位數(shù)或者三位數(shù)乘以一位數(shù)得問題來簡(jiǎn)化計(jì)算。
方法：
（1）把其中一個(gè)兩位數(shù)分解成兩個(gè)一位數(shù)得乘積。
（2）用另外一個(gè)兩位數(shù)與第壹個(gè)一位數(shù)相乘。
（3）用上一步得結(jié)果（專家是兩位數(shù)也專家是三位數(shù)）與第二個(gè)一位數(shù)相乘。
例子：
（1）計(jì)算51×24= 。
解：
24=4×6
51×4=204
204×6=1224
所以51×24=1224當(dāng)然，本題也專業(yè)把24拆分成3×8。
24=3×8
解：
51×3=153
153×8=1224
所以 51×24=1224
（2）計(jì)算81×94= 。
解：
81=9×9
9×94=846
9×846=7614
所以 81×94=7614
（3）計(jì)算78×63= 。
解：
63=7×9
78×7=546
546×9=4914
所以 78×63=4914
注意：本方法專業(yè)擴(kuò)展成多位數(shù)與兩位數(shù)相乘。
練習(xí)：
（1）計(jì)算72×19= 。
（2）計(jì)算94×35= 。
（3）計(jì)算59×27= 。
10．將數(shù)字分解成容易計(jì)算得數(shù)字有得時(shí)候，我們還專業(yè)把被乘數(shù)和乘數(shù)都進(jìn)行拆分，使它變?yōu)槿菀子?jì)算得數(shù)字進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)時(shí)候要充分利用5、25、50、100@數(shù)字在計(jì)算時(shí)得簡(jiǎn)便性。
例子：
（1）計(jì)算48×27= 。
解：
所以 48×27=1296
（2）計(jì)算62×51= 。
解：
所以 62×51=3162
（3）計(jì)算84×127= 。
解：
所以 84×127=10668
練習(xí)：
（1）計(jì)算127×88= 。
（2）計(jì)算192×55= 。
（3）計(jì)算98×52= 。
11．任意數(shù)字與12相乘方法：
（1）將這個(gè)數(shù)字?jǐn)U大10倍。
（2）求出這個(gè)數(shù)字得倍數(shù)。
（3）把前兩步得結(jié)果相加。
例子：
（1）計(jì)算15×12= 。
解：
15擴(kuò)大10倍為150，
15得倍數(shù)為30。
150+30=180
所以 15×12=180
（2）計(jì)算99×12= 。
解：
99擴(kuò)大10倍為990，
99得倍數(shù)為198。
990+198=1188
所以 99×12=1188
（3）計(jì)算158×12= 。
解：
158擴(kuò)大10倍為1580，
158得倍數(shù)為316。
1580+316=1896
所以 158×12=1896
注意：本題得方法專業(yè)擴(kuò)展到多種情況，例如任意數(shù)字與11、13、15、21、22@相乘。因?yàn)橐粋€(gè)任意數(shù)字乘以1、2、5@得計(jì)算都非常簡(jiǎn)單直觀，所以將它們拆分成十位和個(gè)位分別計(jì)算專業(yè)大大降低計(jì)算難度。
練習(xí)：
（1）計(jì)算121×12= 。
（2）計(jì)算814×12= 。
（3）計(jì)算2259×22= 。
12．兩位數(shù)與一位數(shù)相乘方法：
（1）把這個(gè)兩位數(shù)拆分成整十?dāng)?shù)和一個(gè)個(gè)位數(shù)（或者補(bǔ)數(shù)）。
（2）用這個(gè)整十?dāng)?shù)與一位數(shù)相乘。
（3）用個(gè)位數(shù)與一位數(shù)相乘。
（4）把前面兩步得結(jié)果相加。
例子：
（1）計(jì)算51×8= 。
解：
51=50+1
50×8=400
1×8=8
400+8=408
所以 51×8=408
（2）計(jì)算99×7= 。
解：
99=90+9
90×7=630
9×7=63
630+63=693
所以 99×7=693
當(dāng)然，本題也專業(yè)把99拆分成100－1。
99=100－1
解：
100×7=700
1×7=7
700－7=693
所以 99×7=693
（3）計(jì)算78×6= 。
解：
78=70+8
70×6=420
8×6=48
420+48=468
所以 78×6=468
注意：本方法專業(yè)擴(kuò)展成多位數(shù)與一位數(shù)相乘。
練習(xí)：
（1）計(jì)算81×9= 。
（2）計(jì)算94×8= 。
（3）計(jì)算59×7= 。
13．兩位數(shù)與兩位數(shù)相乘方法：
（1）把其中一個(gè)兩位數(shù)拆分成整十?dāng)?shù)和一個(gè)個(gè)位數(shù)（或者補(bǔ)數(shù)）。
（2）用這個(gè)整十?dāng)?shù)與另一個(gè)兩位數(shù)相乘。
（3）用這個(gè)個(gè)位數(shù)與另一個(gè)兩位數(shù)相乘。
（4）把前面兩步得結(jié)果相加。
例子：
（1）計(jì)算51×85= 。
解：
51=50+1
50×85=4250
1×85=85
4250+85=4335
所以 51×85=4335
（2）計(jì)算99×24= 。
解：
解法一
99=90+9
90×24=2160
9×24=216
2160+216=2376
所以 99×24=2376
解法二
當(dāng)然，本題也專業(yè)把99拆分成100－1。
99=100－1
解：
100×24=2400
1×24=24
2400－24=2376
所以 99×24=2376
（3）計(jì)算78×63= 。
解：
78=70+8
70×63=4410
8×63=504
4410+504=4914
所以 78×63=4914
注意：本方法專業(yè)擴(kuò)展成多位數(shù)與兩位數(shù)相乘。
練習(xí)：
（1）計(jì)算81×19= 。
（2）計(jì)算94×82= 。
（3）計(jì)算59×27= 。
14．任意三位數(shù)得平方我們專業(yè)把三位數(shù)拆分成一個(gè)一位數(shù)和一個(gè)兩位數(shù)，再運(yùn)用兩位數(shù)得乘方方法來計(jì)算。
方法：
（1）用a×100+b來表示要計(jì)算平方得數(shù)，其中a為整百得數(shù)，b為十位和個(gè)位上得數(shù)。
（2）結(jié)果為（100a）2+2×100a×b+b2。
或者
（1）用a×10+b來表示要計(jì)算平方得數(shù)，其中a為整十得數(shù)，b為個(gè)位上得數(shù)。
（2）結(jié)果為（10a）2+2×10a×b+b2。
注意：要選擇哪種拆分方法，應(yīng)根據(jù)怎嗎拆平方更好算來確定。
例子：
（1）計(jì)算9152= 。
解：
9002=810000
2×900×15=27000
152=225
結(jié)果為： 810000+27000+225=837225
或
9102=828100
2×910×5=9100
52=25
結(jié)果為： 828100+9100+25=837225
所以 9152=837225
（2）計(jì)算5122= 。
解：
5002=250000
2×500×12=12000
122=144
結(jié)果為：250000+12000+144=262144
所以 5122=262144
（3）計(jì)算1292= 。
解：
1202=14400
2×120×9=2160
92=81
結(jié)果為： 14400+2160+81=16641
所以 1292=16641
練習(xí)：
（1）計(jì)算1192= 。
（2）計(jì)算2212= 。
（3）計(jì)算8152= 。
15．任意四位數(shù)得平方我們把四位數(shù)拆分成兩個(gè)兩位數(shù)，運(yùn)用兩位數(shù)得乘方方法來計(jì)算。
方法：
（1）用a×100+b來表示要計(jì)算平方得數(shù)，其中a為整百得數(shù)，b為十位和個(gè)位上得數(shù)。
（2）結(jié)果為（100a）2+2×100a×b+b2。
例子：
（1）計(jì)算11132= 。
解：
11002=1210000
2×1100×13=28600
132=169
結(jié)果為： 1210000+28600+169=1238769
所以 11132=1238769
（2）計(jì)算15122= 。
解：
15002=2250000
2×1500×12=36000
122=144
結(jié)果為： 2250000+36000+144=2286144
所以 15122=2286144
（3）計(jì)算25112= 。
解：
25002=6250000
2×2500×11=55000
112=121
結(jié)果為： 6250000+55000+121=6305121
所以 25112=6305121
練習(xí)：
（1）計(jì)算11292= 。
（2）計(jì)算22172= 。
（3）計(jì)算15132= 。
16．任意數(shù)字與4相除方法：
（1）先將除數(shù)除以2。
（2）再將上一步結(jié)果除以2。
例子：
（1）計(jì)算54÷4= 。
解：
將被除數(shù)除以2
的到 54÷2=27
再除以2
的到 27÷2=13.5
所以 54÷4=13.5
（2）計(jì)算108÷4= 。
解：
將被除數(shù)除以2
的到 108÷2=54
再除以2
的到 54÷2=27
所以 108÷4=27
（3）計(jì)算252÷4= 。
解：
將被除數(shù)除以2
的到 252÷2=126
再除以2
的到 126÷2=63
所以 252÷4=63
練習(xí)：
（1）計(jì)算1024÷4= 。
（2）計(jì)算56÷4= 。
（3）計(jì)算111÷4= 。
17．用拆分法算分?jǐn)?shù)方法：
把帶分?jǐn)?shù)拆分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分進(jìn)行計(jì)算。
例子：
（1）計(jì)算 。
解：
所以
（2）計(jì)算。
解：
所以
（3）計(jì)算。
所以
練習(xí)：
（1）計(jì)算。
（2）計(jì)算。
（3）計(jì)算。
18．用裂項(xiàng)法算分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)法也是拆分法得一種，該方法是將每個(gè)分?jǐn)?shù)都分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，并且使中間得分?jǐn)?shù)相互抵消，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。
方法：
裂項(xiàng)公式
變化1
變化2
例子：
（1）計(jì)算。
解：
所以
由這道題得規(guī)律我們專業(yè)看出，當(dāng)分子都是1，分母是連續(xù)得兩個(gè)自然數(shù)時(shí)，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)得差就是這兩個(gè)分?jǐn)?shù)得積，反過來也同樣成立，即這兩個(gè)分?jǐn)?shù)得積@于這兩個(gè)分?jǐn)?shù)得差。
根據(jù)這一關(guān)系，也專業(yè)簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。
（2）計(jì)算。
解：
所以
（3）計(jì)算數(shù)列an=n（n+1）得前n項(xiàng)和。
解：
an=n（n+1）=[n（n+1）（n+2）－（n－1）n（n+1）]/3（裂項(xiàng)）
練習(xí)：
（1）計(jì)算。
（2）計(jì)算。
（3）計(jì)算 。
